Obal Na Rezervní Kolo
Oblouk křivky [ zdroj? ] Obloukem křivky od bodu do bodu se nazývá délka části křivky mezi a. Pokud je křivka hladká (t. k má spojité (1. ) derivace), dá se vyjádřit vzorcem kde je i -tá složka křivky. Výhoda oblouku je, že ho lze použít jako parametr pro tzv. přirozenou parametrizaci křivky (obloukem). Diferenciál nazýváme diferenciál (prvek, element) oblouku nebo lineární prvek (element) křivky [ zdroj? ]. Křivky vyplňující prostor Obrazem křivky mohou být překvapivě i množiny, které mají větší topologickou dimenzi než jedna. Kupříkladu Hilbertova křivka je spojité zobrazení úsečky na čtverec, t. spojitá křivka, která vyplní celý (dvourozměrný) čtverec. Na obrázku je prvních 6 iterací konstrukce Hilbertovy křivky. Hilbertova křivka je pak limitou těchto křivek. Je spojitá, ale není prostá. Její složky jsou spojité funkce, které nemají derivaci v žádném bodě. Jiný známý příklad křivky, která vyplní čtverec je Sierpińského křivka. Klasifikace, který topologický prostor je spojitým obrazem intervalu [0, 1], řeší Hahn-Mazurkiewiczova věta: Neprázdný Hausdorffův topologický prostor X je spojitým obrazem intervalu [0, 1] právě když je kompaktní, souvislý, lokálně souvislý a separabilní.
Normálový vektor přímky p je vektor, který je kolmý k přímce p a jeho souřadnice vychází z obecné rovnice přímky. Motivace Máme přímku p, která prochází body A[0, 1], B[2, 5]. Přímka odpovídá grafu funkce y = 2x + 1, takže obecná rovnice přímky má tvar −2x + y − 1 = 0. Obrázek: Přímka p Obecná rovnice má obecný tvar ax + by + c = 0, v našem případě tak pro rovnici −2x + y − 1 = 0 platí a = −2, b = 1, c = −1. Jaký geometrický význam mají parametry a, b? Zkusíme si schválně jen tak pro zábavu nakreslit do obrázku vektor $\vec{\mathbf{u}}=(a, b)$, tj vektor $\vec{\mathbf{u}}=(-2, 1)$: Přímka p s vektorem $\vec{\mathbf{u}}=(-2, 1)$ Poměrně jasně vidíme, že tento vektor je kolmý k přímce p. Není to náhoda, pokud bychom vzali jakoukoliv obecnou rovnici přímky ax + by + c = 0, tak vektor (a, b) by byl kolmý k této přímce. Takovému vektoru říkáme normálový vektor přímky p. Vlastnosti normálového vektoru Z vlastností skalárního součinu vektorů víme, že skalární součin dvou vektorů je nulový právě tehdy, když jsou na sebe vektory kolmé.
Normála daného n −1 dimenzionálního podprostoru v n -dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu. Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n −1 rozměrných útvarů – tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy. Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu. Normála plochy [ editovat | editovat zdroj] Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě. Je-li rovina dána rovnicí, potom je její normálový vektor n roven. Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi potom je vektor normály až na znaménko udán jako což má přímé zobecnění v n -rozměrném prostoru: kde jsou parametry plochy.
Tento článek je o geometrickém útvaru. Další významy jsou uvedeny na stránce Křivka (rozcestník). Křivka je v matematice geometrický jednorozměrný objekt, případně zobrazení z přímky do nějakého prostoru (tzv. parametrizovaná křivka). Jednoduché příklady křivek jsou přímka nebo kružnice. Formální definice Je-li M nějaký matematický prostor (například Eukleidovský prostor, varieta, topologický prostor) a I interval reálných čísel, pak křivkou rozumíme spojité zobrazení I do M. Toto se někdy také nazývá parametrické vyjádření křivky. Pokud má smysl mluvit o derivaci k (t. j. pokud cílový prostor je Eukleidovský prostor nebo hladká varieta a derivace existuje v každém bodě), nazývá se křivka hladká nebo diferencovatelná. Hladká křivka je regulární, pokud její derivace není v žádném bodě nulová. Křivka se nazývá uzavřená, pokud I je uzavřený interval [a, b] a. Množina se nazývá (geometrický) obraz křivky. Mají-li složky křivky k na otevřeném intervalu spojité derivace až do -tého řádu, pak říkáme, že se jedná o křivku -té třídy.
ZADÁNÍ Určete vzdálenost d bodu P od přímky AB.,, POSTUP 1. Bodem P vedeme rovinu kolmou k přímce p 2. Sestrojíme průsečík Q přímky a roviny 3. Vypočteme vzdálenost dvou bodů P a Q ŘEŠENÍ Proto abychom mohli vytvořit rovinu, která zahrnuje bod P a je kolmá k přímce p(AB), potřebujeme směrový vektor AB. Směrový vektor AB přímky p je současně normálový vektor roviny. Přímka p je určena směrovým vektorem a body a. Její parametrické vyjádření vypadá následovně: Rovinu vyjádříme obecnou rovnicí takto: Nyní dosadíme do rovnice bod P. Průsečík Q roviny a přímky zjistíme vyřešením soustavy rovnic. Parametrické vyjádření přímky dosadíme za neznámé x, y, z do obecné rovnice roviny. Průsečík Q dopočítáme dosazením parametru do parametrické rovnice přímky p. Nakonec určíme vzdálenost dvou bodů a tím je úloha vyřešena. Vzdálenost bodu P od přímky je tedy jednotek. Jaká je vzdálenost d mezi plotem a patníkem? Projede místem auto široké 2, 1 jednotek (m)? Lze úloha řešit i jiným způsobem? Určete vzdálenost d bodu P od přímky AB.
Teď tedy vidíte... Toto 'a' musí být toto 'A', 'b' je toto 'B' a 'c' musí být tohle. A 'D' je toto všechno. A z toho všeho bude číslo. Toto všechno dává číslo. Předpokládejme, že víte, co je normálový vektor. Co jsou tedy, a',, b' a, c'? Znáte konkrétní hodnoty, Tedy toto je 'D'. Tedy to je způsob, jak dostanete rovnici roviny. Zadám-li vám rovnici roviny, co je normálový vektor? Právě jsme to viděli. Pro normálový vektor, 'a' odpovídá 'A',, b' odpovídá, B', c' odpovídá, C'. Normálový vektor roviny je ten, se kterým jsme začali a jeho složky jsou, a',, b', a, c'. Tedy, dostanete-li zadanou rovnici roviny, Normálový vektor... Normálový vektor této roviny je právě tady, Ai plus Bj plus Ck. Je tedy velmi jednoduché, když vám zadám rovnici roviny… Ukažme si to na konkrétním příkladu. Řeknu-li vám, že máme rovinu v trojrozměrném prostoru. Například -3, samozřejmě bychom mohli pracovat i s více dimenzemi. Například -3x, plus odmocnina ze 2y minus, tedy plus 7z se rovná Pí. Něco bláznivého, tedy není to bláznivé, je to jen rovina v trojrozměrném prostoru.
V opačném případě se jedná o záporně orientovanou křivku. Příklady rovinných křivek přímka kuželosečky cykloida Archimédova spirála řetězovka Prostorová křivka Prostorovou křivkou rozumíme zobrazení intervalu reálných čísel I do (trojrozměrného euklidovského) prostoru pro, kde x, y a z jsou spojité funkce. Uvedené rovnice křivky bývají obvykle zapisovány ve vektorovém tvaru,, kde představuje rádiusvektor. Křivku v prostoru lze také zadat jako průnik dvou ploch, např. nebo Jsou-li rovnice popisující křivku (v kartézské soustavě souřadnic) algebraické, pak křivku označujeme jako algebraickou (např. přímka nebo kuželosečky). Pokud uvedené rovnice nejsou algebraické, pak říkáme, že křivka je transcendentní (např. sinusoida nebo řetězovka). Příklady prostorových křivek šroubovice Délka křivky Podrobnější informace naleznete v článku Délka křivky. Délka křivky se v diferenciální geometrii obecně definuje pomocí vhodných parametrizací této křivky. Obecně však nemusí být definována, resp. je nekonečná.
Cílem tohoto videa je ujistit se, že správně rozeznáme, co je normálový vektor roviny, jestliže máme zadanou rovnici roviny. Pro názornost, začněme tedy rovinou... Pusťme se do toho. Tak, tohle je rovina. Načrtl jsem jen její část, samozřejmě pokračuje ve všech směrech. Řekněme tedy, že toto je naše rovina. A řekněme, že tohle je normálový vektor roviny. Tak, toto je náš normálový vektor roviny. Je zadán ai plus bj plus ck. Tohle je náš normálový vektor roviny. A řekněme, že máme... A je kolmý ke každému vektoru dané roviny. Dále mějme zadaný libovolný bod v rovině. Máme bod. Je to bod X s indexem p. A řekněme p jako rovina (plane). Tedy je to bod v rovině se souřadnicemi xp, yp, zp. Zvolíme si počátek... Řekněme, že tady jsou osy. Nakreslím osy, tedy osy souřadnic. Řekněme, že naše soustava souřadnic vypadá takto. Tohle je osa z. Tohle je osa y. A tohle je naše osa x. Naše osa x jde třeba tudy. Tohle je naše osa x. Tohle můžeme označit jako polohový vektor. To je polohový vektor. Nakreslím ho takto.